航空機の運動方程式
何よりもまず結論から示すと、並進運動
以下は、この式の導出から変形等を示す。
使用する記号等
機体固定座標系
x軸:機首方向 y軸:右翼方向 z軸:機体の腹方向 の右手系
重心:C
地面固定座標
原点:O
オイラー角
機体の質量
機体の一部の微小質量
重心の位置ベクトル
微小質量の位置ベクトル
微小質量の重心からの位置ベクトル
速度
角速度(機体の重心C周りの回転ベクトル)
全外力
モーメント
角運動量
x軸,y軸,z軸に関する慣性能率
x-y面,y-z面,z-x面に関する慣性乗積
迎角
横滑り角
飛行経路角
上反角
舵角
回転座標系の時間微分の仕方
通常、固定座標系においては、角速度
航空機の運動方程式の導出(並進運動方程式)
重心の位置ベクトル微小質量の位置ベクトル
重心から微小質量の位置ベクトル
微分すると
(速度の式)
もう一回微分すると
(加速度の式)
微小質量に係る外力を
ニュートンの第2法則
積分して、機体全体の質量にして考えると
rは時間によって変化することはない定数なので、
よって、
成分表示をすると
(並進運動の方程式)
航空機の運動方程式の導出(回転運動方程式)
回転運動のモーメントを考える。微小質量
行列の外積の計算の仕方
積分して、機体全体の質量にして考えると
成分表示をすると
ここで、 とすると、
(回転運動の方程式)
左右対称な機体の場合の回転運動方程式
もしも機体が 左右対称形 であった場合そのため、回転運動の方程式は
この時、
「ロール・ヨー・カップリング」
ロール運動中にヨー運動が加わるとピッチングモーメントが発生する。
「ロール・ピッチ・カップリング」
ロール運動中にピッチ運動が加わるとヨーイングモーメントが発生する
外力と(並進運動方程式の左辺)について
航空機に働く外力は (重力)と(推力)と(揚力)と(抗力)です。(揚力)と(抗力)は、合わせて(空気力)と言うことができます。
つまり、航空機に働く外力は (重力)と(推力)と(空気力)です。
1 重力
2 推力
3 空気力
よって、外力Fは
なので、航空機の並進運動の運動方程式
と書くことができ、これを整理すると
これも(並進運動方程式)
モーメント(回転運動方程式の左辺)について
航空機に働くモーメントは、(空気力によるモーメント)と(エンジンジャイロモーメント)に分けられます。
1 空気力によるモーメント
平均空力翼弦を
(空気力によるモーメント)は
2 エンジンジャイロモーメント
エンジンによる慣性モーメントを
(エンジンジャイロモーメント)は
航空機に働くモーメントは
航空機の回転運動の運動方程式
は、
機体が左右対称であれば、
と書くことができ、これを整理すると
ここで、
とおくと、
さらに整理すると、
これも(回転運動方程式)